O fraktalach słów parę

Geometryczne obiekty, jakimi są fraktale, dawniej zwano "matematycznymi potworami" lub "wyrzutkami". Dziś wiedza na ich temat pozwala rozwijać telekomunikację, bezpieczeństwo przesyłu danych czy rozrywkę - gdy korzystają z niej twórcy kinowych efektów specjalnych - mówi w rozmowie z PAP prof. Andrzej Katunin z Politechniki Śląskiej w Gliwicach.

Fraktale to twory matematyczne, przedstawiane w graficznej postaci jako bardzo złożone obiekty o określonych cechach. Jedną z nich jest samopodobieństwo, które oznacza, że fraktal oglądany w skali mikro- i makro wygląda tak samo. "Ideę fraktala można przybliżyć, przyglądając się kalafiorowi, który zbudowany jest z różyczek, a te - z jeszcze mniejszych, i kolejnych. Mniej typowym prostym modelem fraktali mogą być matrioszki rosyjskie: jednakowe figurki, schowane jedna w drugiej" - mówi prof. Katunin, inżynier, popularyzator nauki i entuzjasta matematyki.

Dlaczego ludzie mieliby się interesować fraktalami? "Wielu przyciąga ich estetyka wizualna. Mają też wiele zastosowań. Z dziwolągów i potworów - jak fraktale nazywano sto lat temu - powstały nowoczesne narzędzia, dające początek zaawansowanym badaniom naukowym w zakresie dynamiki układów, mające zastosowanie niemal w każdej dziedzinie nauki. Bez fraktali nie byłoby wielu obecnych osiągnięć w różnych dziedzinach życia" - dodaje naukowiec.

Przypomniał, że za punkt zwrotny - moment, od którego na fraktale zaczęto spoglądać jak na narzędzie - odpowiada Benoit Mandelbrot. Ten urodzony w Warszawie (1924 r.) matematyk nazwany został ojcem geometrii fraktalnej, a przełomem były prowadzone przez niego badania wahań cen bawełny. Przyglądając się danym Mandelbrot nie uwzględniał dni, tygodni czy miesięcy, a o wiele dłuższy okres: ponad wieku. I choć na początku spodziewał się, że ceny kształtowane są losowo - analizując dane, dostrzegł prawidłowości i podobieństwa, co doprowadziło go do opracowania narzędzi do analizy, a nawet do prognozowania cen. "Dziś w naukach ekonomicznych analiza fraktalna jest już narzędziem klasycznym, szeroko wykorzystywanym m.in. do badania giełdy, wahań cen, zachowań walut itd." - podsumował naukowiec.

Zastosowań fraktali jest zresztą dużo więcej. Jeden z fraktali nosimy nawet w kieszeni - zwraca uwagę prof. Katunin. Chodzi o telefon komórkowy, a właściwie jego antenę. W różnych częściach świata, np. w USA czy Europie, istnieją różne standardy GSM, które określają, na jakich częstotliwościach telefon nadaje i odbiera sygnał. Dzięki fraktalnemu kształtowi antena działa we wszystkich pasmach - niezależnie od tego, w której części świata jest właściciel telefonu.

Bez fraktali nie byłoby nawet widowiskowych efektów specjalnych w kinie. Znajomość tych form pomogła najpierw tworzyć realistyczne wizualizacje krajobrazów w filmach. Bardziej zaawansowane wizualizacje krajobrazu jednej z planet pojawiły się m.in. w 2. części filmu Star Trek, a później np. w "Ostatnim gwiezdnym wojowniku", "Apollo 13" - gdzie za pomocą algorytmów fraktalnych zobrazowano powierzchnię Księżyca, czy "Gniewie Oceanu" - w którym fraktali użyto do symulacji huraganu Grace. Fraktalne algorytmy wykorzystano też do wygenerowania lawy w słynnej scenie walki na miecze świetlne pomiędzy Obi-Wan Kenobim i Anakinem Skywalkerem w 3. części Gwiezdnych Wojen (z 2005 r.). Efekty fraktalne można też znaleźć w "Lucy" Luca Bessona (z 2014 r.), 2. części "Strażników galaktyki" (2017) czy "Doktorze Strange" (2016), w którym aż roi się od fraktali, a oparte na nich efekty zapierają dech w piersiach - wymienia prof. Katunin, autor książki "Fraktale. Matematyczne potwory, które odmieniły postrzeganie świata".

Zaznacza on, że fraktale wkroczyły nawet do biologii i medycyny - w takim sensie, że pomagają zrozumieć budowę i działanie wielu układów i struktur, np. układu nerwowego, płuc czy tkanki kostnej. Dzięki fraktalnej strukturze uzyskują one wyjątkowe cechy, takie jak sztywność i lekkość jednocześnie.

Dzięki fraktalom dynamicznie rozwija się kryptografia. "W szyfrowaniu danych, zwłaszcza wrażliwych, ważna jest kwestia generowania kluczy, np. do kont bankowych, kart kredytowych i do zabezpieczania operacji wykonywanych tymi kartami. Tam również wykorzystywane są fraktale wielowymiarowe w przestrzeniach hiperzespolonych" - mówi Andrzej Katunin.

On sam - bazując na wiedzy związanej z geometrią fraktalną - bada uszkodzenia struktur lotniczych i wykrywa usterki, niewidoczne przy użyciu klasycznych urządzeń pomiarowych. "Części samolotów, wykonane z materiałów kompozytowych - np. elementy poszycia, usterzenia, pionowych i poziomych stateczników samolotów - wymagają ciągłej inspekcji i okresowych badań. Można to robić różnymi metodami, począwszy od zwykłych oględzin, po wykonywanie różnego rodzaju pomiarów. Jeśli w jakimś miejscu maszyny pojawi się nawet bardzo małe pęknięcie, lokalnie oznacza ono obniżenie sztywności materiału. W pomiarach wykrywamy je, widząc niespójność powierzchni lub też niespójność sygnału, jaki z niej pozyskamy. Właśnie taką niespójność potrafi wyłapać specjalny algorytm, związany z wymiarem fraktalnym. Ja ujawniam uszkodzenia, które nie są widoczne w sygnałach z klasycznych urządzeń pomiarowych. Pracuję też nad poprawą wrażliwości tych metod; nad tym, żeby można było wykrywać coraz to mniejsze uszkodzenia" - opowiada inżynier.

Kształty fraktalne obecne są w samej przyrodzie. "Na podstawie badań, którymi dysponujemy, można uznać, że ma to związek z powszechnym w przyrodzie zjawiskiem samoorganizacji. W skali mikro regułom samoorganizacji podlega np. rozrost bakterii czy pleśni, których swobodna hodowla kształtem przypomina fraktal. W skali mezo charakter fraktalny ma kształt prądów morskich, koryt rzek, obłoków czy błyskawic. Cechy fraktalne ma też proces kształtowania się górotworu, na który wpływa wiele czynników: ruchy tektoniczne, działanie jądra ziemi, wulkanów itd. Natomiast w skali makroskopowej strukturę fraktalną mają gromady galaktyk" - wymienia Andrzej Katunin.

Obecne w przyrodzie fraktale podpatrują ludzie, przenosząc je do rozwiązań inżynieryjnych, a także do architektury i sztuki. "Cechy fraktali można odnaleźć w architekturze sakralnej, np. świątyni w Indiach. Już w czasach starożytnych powstały księgi, które można dziś uznać za podręczniki z instrukcjami, jak takie świątynie budować. I te fraktale już tam są! Bierze się to również ze stosowanej w danej kulturze symboliki. Niektóre świątynie hinduistyczne, zwłaszcza charakterystyczne dla północnych Indii, bazują na symbolach nazywanych mandalami - które również mają cechy fraktalne. Stworzyli je dawni mieszkańcy Indii, opierając się na sposobie pojmowania budowy wszechświata. Cechy fraktalne pojawiają się w architekturze właśnie dlatego, że ludzie widzą je w przyrodzie. A do tego po prostu nam się podobają, co może wynikać z ich nieskończonej złożoności" - podsumowuje naukowiec z PŚ.

On sam - co najmniej odkąd naukowo zajmuje się fraktalami - dostrzega je praktycznie wszędzie: "struktury fraktalne można zobaczyć w najbardziej prozaicznych sytuacjach - zimą w kształtach szronu na oknie, dymie z komina, parze wylatującej z czajnika. Nawet prowadząc badania, bo wżery rdzy na elementach lotniczych to też kształty fraktalne. Zaskakujące jest odkrywanie fraktali w coraz to nowych miejscach. Widzi je też moja żona, która jest naukowcem, a fraktalami 'zaraziła' się ode mnie".

Anna Ślązak