Odkryto najstarszy ślad użycia praktycznej geometrii

Si.427 to tabliczka znaleziona w późnym XIX w., na terenie dzisiejszego centralnego Iraku, której znaczenie do dzisiaj jednak pozostawało zagadką. Tymczasem autor nowej pracy opublikowanej na łamach "Foundations of Science" twierdzi, że jest to najstarszy ślad praktycznego zastosowania geometrii. "Si.427 pochodzi z okresu Starego Babilonu - między 1900 a 1600 rokiem p.n.e." - mówi prof. Daniel Mansfield z University of New South Wales. "To jedyny znany przykład dokumentu katastralnego z okresu starego Babilonu, czyli planu używanego przez geodetów do wytyczania granic ziemi. W tym przypadku pokazuje prawne i geometryczne szczegóły na temat działki podzielonej po sprzedaży części pewnego obszaru" - wyjaśnia badacz.

Odkrycie pokazuje wykorzystanie trójek pitagorejskich do wyznaczania kątów prostych. "Odkrycie i analiza tabliczki ma ważkie konsekwencje dla historii matematyki" - twierdzi dr Mansfield. - "Chodzi m.in. oto, że tabliczka pochodzi z okresu o 1000 lat wcześniejszego, niż czasy Pitagorasa".

Jak się też okazało, ma ona związek z odkryciem australijskiego matematyka z 2017 roku - kiedy to zauważył on, że jeszcze inny artefakt z tego okresu, gliniana tablica Plimpton 322, zawiera coś na kształt tabeli z wartościami trygonometrycznymi.

"Powszechnie uważa się, że trygonometria - gałąź matematyki zajmująca się pomiarami trójkątów - została stworzona przez starożytnych Greków analizujących nocne niebo w II wieku p.n.e." - zauważa ekspert. - "Jednak Babilończycy rozwinęli własną, alternatywną "proto-trygonometrię", aby rozwijać problemy związane z pomiarami obszarów ziemskich, a nie nieba".

Opisana w nowej pracy tabliczka prawdopodobnie powstała jeszcze wcześniej, niż Plimpton 322. Prawdopodobnie właśnie problemy geodezyjne zainspirowały utworzenie tego późniejszego artefaktu.

"Istnieje całe 'zoo' kątów prostych w różnych kształtach. Jednak tylko nieliczne mogły być używane przez babilońskich geodetów. Plimpton 322 reprezentuje systematyczną analizę tego 'zoo' i wybór użytecznych kształtów" - opowiada dr Mansfield.

Do tej pory naukowcy zastanawiali się nad zastosowaniem Plimpton 322. Podejrzewali, że była używana do czegoś praktycznego - być może do budowy pałaców, świątyń, czy kanałów lub właśnie do pomiarów ziemi. "Opisana obecnie tabliczka pochodzi z okresu, kiedy ziemia zaczęła stawać się prywatną własnością - ludzie zaczęli myśleć w kategoriach 'moja i twoja ziemia' i chcieli wytyczać właściwe granice, aby utrzymać dobre relacje z sąsiadami. I przedmiot ten wskazuje właśnie na dzielone pole, na którym wytyczane są nowe granice" - tłumaczy naukowiec.

Co więcej, także inne obiekty z tego samego okresu zawierają ukryte dotąd wskazówki na temat wytyczania takich granic. "Inna tabliczka odnosi się do sporu między wysoko postawionym obywatelem imieniem Sin-bel-apli wspomnianym na wielu tablicach, w tym Si.427, a bogatą właścicielką ziemską" - mówi matematyk. - "Spór dotyczy cennych palm daktylowych na granicy między dwiema posiadłościami. Miejscowy zarządca zgodził się wysłać geodetę, aby spór rozstrzygnął. Łatwo dostrzec, jak ważna była dokładność pomiarów w rozwiązywaniu tego typu spraw między tak ważnymi ludźmi".

Twierdzi on, iż sposób, w jaki granice są wytyczane, ujawnia prawdziwe rozumienie geometrii. "Nikt nie spodziewał się, że Babilończycy używali w taki sposób pitagorejskich trójek. Bardziej przypomina to czystą matematykę zainspirowaną praktycznymi problemami ówczesnego okresu" - zaznacza.

Babilończycy posługiwali się prostokątami, których przekątna z bokami tworzy specyficzne trójkąty - takie, których długość można wyrazić liczbami całkowitymi. Zależność między nimi jest taka, jak mówi prawo Pitagorasa. Liczby te tworzą wspomniane pitagorejskie trójki - np. - np. 3, 4 i 5. "Dawni geodeci, którzy stworzyli Si.427, poszli jeszcze o krok dalej: wykorzystywali cały zestaw pitagorejskich trójek, zarówno w prostokątach, jak i trójkątach prostokątnych, aby dokładnie wyznaczać kąty proste' - opowiada dr. Mansfield.

W babilońskich systemie liczbowym trudno jest jednak operować liczbami pierwszymi o większej wartości niż 5 - tłumaczy badacz. "Powstała nietypowa sytuacja - ich unikalny 60-liczbowy system oznacza, że użyte mogą zostać tylko niektóre pitagorejskie kształty. Wydaje się, że twórca Plimpton 322 przeanalizował wszystkie te kształty, aby wybrać użyteczne" - opowiada specjalista. Jego zdaniem ta umiejętność praktycznego wykorzystania trójkątów zasługuję na nazwę "proto-trygonometria", choć całkowicie różni się od dzisiejszej trygonometrii opartej na sinusach, cosinusach i tangensach.

Dr Mansfield opowiada, że po raz pierwszy dowiedział się o tabliczce Si.427 w trakcie studiowania zapisów z wykopalisk. Wydobyto ją w 1 894 roku na miejscu dzisiejszej prowincji Bagdad. "Prześledzenie drogi tabliczki z tych zapisków i jej fizyczne odnalezienie było prawdziwym wyzwaniem - podane informacje mówiły, że została ona przesłana do Królewskiego Muzeum w Konstantynopolu - miejsca, które już nie istnieje. Mając te dane rozpocząłem poszukiwania - rozmawiałem z wieloma osobami w tureckim rządzie i muzeach, aż pewnego dnia 2018 roku zdjęcie Si.427 trafiło do mojej skrzynki pocztowej" - relacjonuje swoją przygodę matematyk. "Wtedy dowiedziałem się, że tabliczka jest częścią muzealnej wystawy. Nawet po jej zlokalizowaniu całe miesiące zajęło pełne zrozumienie tego, jak jest istotna. Dlatego ogromną satysfakcję daje możliwość podzielenia się tym odkryciem" - mówi.

Badacz chce teraz poszukiwać kolejnych zastosowań proto-trygonometrii przez Babilończyków.

Tabliczka pozostawiła jednak zagadkę. Na jej odwrocie znajduje się wyryta dużą czcionką liczba 25:29 w układzie sześćdziesiętnym. Taką liczbę można rozumieć podobnie, jak 25 minut i 29 sekund. "Nie mogę zrozumieć, co te cyfry oznaczają - to całkowita enigma. Chętnie przedyskutuję wszelkie tropy z historykami i matematykami, którzy mogą mieć przeczucie, co liczba ta może nam powiedzieć" - ogłasza dr Mansfield.

Więcej informacji m.in. na stronie: https://link.springer.com/article/10.1007/s10699-021-09806-0

Marek Matacz